ESTIMACIÓN DE LOS "PUNTOS DE FEKETE"

"Científicos españoles resuelven uno de los grandes retos matemáticos: La estimación de los "puntos de Fekete" tendrá aplicaciones en Física y Medicina."

Un equipo de investigadores de la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC) ha resuelto uno de los "enigmas" matemáticos más enrevesados, que desde hace un siglo se resistía a científicos de todo el mundo. Se trata del denominado problema de los puntos de Fekete, que plantea cómo debe distribuirse un número finito de puntos - partículas - sobre una esfera para obtener una configuración estable. Cuanto menos es la energía potencial del conjunto de puntos, menor será el caos de dicho conjunto y, por consiguiente, más estable será la configuración.

El reto, a falta de la validación de la comunidad científica en un próximo congreso, ha sido resuelto por Enrique Bendito, Andrés Encinas, Ángeles Carmona y José M. Gesto, con la ayuda del superordenador Finisterrae, emplazando en el Centro de Supercomputación de Galicia (Santiago de Compostela) y considerado el de mayor memoria compartida de Europa. El trabajo con el ordenador requirió en febrero unas 350.000 horas de cálculo, algo que con un ordenador doméstico hubiese llevado cuarenta años de trabajo.

Los puntos de Fekete estaban clasificados en el número 7 de la lista de problemas del destacado matemático Stephen Smale, que agrupa los 18 problemas de mayor relevancia y dificultad en la actualidad.

Los matemáticos de la UPC han logrado resolver el posicionamiento de decenas de miles de puntos en 50 millones de combinaciones, cuando investigadores anteriores no habían superado los dos mil puntos. La solución del problema tendrá aplicaciones en la formación de moléculas, estructuras cristalinas, diseño de proteínas, dinámica de gases...

Para ver el estudio completo, consulta el pdf, aquí.

LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG

Königsberg fue una popular y rica cuidad de la Prusia Oriental, hoy en día su nombre es Kaliningrado y pertece a Rusia, se encuentra a orillas del mar Báltico y a unos 50 km de la frontera con Polonia.

En esta ciudad se juntan dos ríos, formando una isla en su confluencia. Siete puentes unían (ya no, pues la ciudad fue parcialmente destruida durante la segunda Guerra Mundial) las diferentes partes de la ciudad, como se aprecia en el mapa de la época. En el siglo XVIII se hizo popular como adivinanza/pasatiempo averiguar si era posible cruzar los siete puentes de la ciudad pasando sólo una vez por cada uno de ellos.

Königsberg en tiempos de Euler

Kaliningrado, en la actualidad

Esta ciudad es conocida también por ser la cuna del filósofo Immanuel Kant (1724 - 1804), pero en la historía de las Matemáticas es famosa por la disposición de sus puentes que dió lugar a este juego, precisamente en la época de Kant, que atrajo la atención de los más famosos matemáticos del momento.

Este problema, por supuesto, puede resolverse mediante un estudio exhaustivo de todos los posibles itineriarios. Pero en las matemáticas nos interesamos por generalizar el problema y buscar una solución sencilla y válida para todos los posibles mapas de ciudades, e incluso objetos más generales.

En 1736, el gran matemático suizo afincado en San Petersburgo, Leonhard Euler, publicó su "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis", un artículo en el que resolvía el problema en el caso general. Este trabajo es considerado como en el nacimiento de la Teoría de Grafos, utilizada hoy en día en un sinfín de aplicaciones, y también uno de las primeras apariciones de una "nueva Geometría" en la que importan sólo las propiedades estructurales de un objeto y no sus medidas. A esto se refieren las palabras "geometrian situs" en el título de Euler, palabras que hoy se traducen como Topología.

La primera observación es que el problema se puede reformular como sigue. Dado el siguiente "grafo" con cuatro vértices y siete aristas, ¿es posible recorrerlo entero sin pasar dos veces por la misma arista?. En el grafo, los cuatro vértices representan las cuatro partes en que los ríos separan la ciudad, y las siete aristas representan los puentes. Dicho de otro modo, que resulte más familiar a los aficcionados de los pasatiempos: ¿es posible realizar el dibujo del grafo sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma arista? (Se permite pasar dos veces por el mismo vértice).


La respuesta de Euler es extremadamente simple. Supongamos que, efectivamente, es posible realizar el dibujo sin levantar el lápiz del papel. Al realizar el dibujo, en cada vértice intermedio que atravesemos entraremos por una arista y saldremos por otra. En particular, el número de aristas que confluyen en cada vértice del grafo, exceptuando quizás los vértices inicial y final del dibujo, ha de ser par. Si llamamos "valencia" de cada vértice al número de aristas que confluyen en él, lo dicho anteriormente significa que para que el problema tenga solución es necesario que en el grafo haya como mucho dos vértices de valencia par. En el caso del grafo de Königsberg los cuatro vértices tienen valencia impar, así que el problema no tiene solución. Q.E.D.

EL INVENTOR DEL AJEDREZ

Como continuación al post anterior en el que hablaba de progresiones, hoy nos centramos en las Progresiones Geométricas, las cuales siguen un crecimiento exponencial, por lo que los términos de la progresión se disparan desmesuradamente (en el caso creciente) y se anula rápidamente en el caso (decreciente).

Virus de la gripe

Un claro ejemplo de crecimiento exponencial es la propagación de virus como el de la gripe, dando alcance a un gran número de personas sobre la faz del planeta, en unas cuantas semanas, así como otros sucesos naturales...

Pero hoy os voy a contar la famosa leyenda del Inventor del Ajedrez, dice así la historia, el rey de Persia aburrido en los ratos muertos, de repente quedó fascinado por el juego del ajedrez, el cual le prensentó un inventor ingenioso e inteligente. Se cuenta que quedó tan agradecido que el rey ofreció al matemático oriental lo que deseara.

El inventor contestó:

- Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así hasta la casilla 64 del tablero.

(Es decir la suma de los 64 primero términos de una P.G. de razón 2 y cuyo primer término es 1)

El rey se mofó pensando la minucia que le estaba pidiendo y solicitando a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dió cuenta que era imposible cumplir la orden, pues la suma de los granos de las 64 casillas era nada menos que la cantidad de:

18.446.744.073.709.551 616 granos

(En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11′5 kilómetros de lado.
Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares), durante ocho años)

Hay una segunda parte de la historia, que es la siguiente, debido al bochorno del rey de tener que aceptar que no tenía granos suficientes para pagarle, consulto a otro hombre inteligente e ingenioso de su corte para que le sacara del apuro.

Y este le propuso lo siguiente:

- Para que vea el inventor cuan generoso eres, ofrécele no sólo la suma de los 64 primeros términos sino la suma infinita.

A lo que el rey exclamó:

- ¡Estás loco!. Si no tengo para pagarle como voy a hacer para prolongar la suma hasta el infinito, serían infinitos granos...

Pero el ayudante ingenioso le dijo:

- Llévame ante el inventor y confía en mí, todo va a salir bien!

Una vez allí reunidos, el ingenioso ayudante le propuso al inventor, que el rey estaba tan contento y feliz con el juego del ajedrez y se mostraba tan generoso, que no sólo se ofrecía a darle la suma de las 64 casillas, sino la suma infinita. A lo que, encogiéndose de hombros el inventor aceptó. Y el ayudante del rey empezó a explicar:

Llamemos

S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... (a la suma infinita)

ahora la multiplicamos por 2, de manera que tenemos 2S,

2S= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

A continuación hacemos 2S - 1S,

2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

-1S = - 1 - 2 - 4 - 8 - 16 - ...
______________________
S = -1

De manera que observamos que 2 y -2 se cancelan, así 4 y -4, e igual hasta el infinito... de manera que al final, S = -1. No sólo ya no le tenía que pagar al inventor, sino que encima este le debía un grano. ¡Sorprendente! (Pues es lo que tiene jugar con el infinito, este tipo de casos se les conoce como paradojas del infinito)