EL INVENTOR DEL AJEDREZ

Como continuación al post anterior en el que hablaba de progresiones, hoy nos centramos en las Progresiones Geométricas, las cuales siguen un crecimiento exponencial, por lo que los términos de la progresión se disparan desmesuradamente (en el caso creciente) y se anula rápidamente en el caso (decreciente).

Virus de la gripe

Un claro ejemplo de crecimiento exponencial es la propagación de virus como el de la gripe, dando alcance a un gran número de personas sobre la faz del planeta, en unas cuantas semanas, así como otros sucesos naturales...

Pero hoy os voy a contar la famosa leyenda del Inventor del Ajedrez, dice así la historia, el rey de Persia aburrido en los ratos muertos, de repente quedó fascinado por el juego del ajedrez, el cual le prensentó un inventor ingenioso e inteligente. Se cuenta que quedó tan agradecido que el rey ofreció al matemático oriental lo que deseara.

El inventor contestó:

- Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así hasta la casilla 64 del tablero.

(Es decir la suma de los 64 primero términos de una P.G. de razón 2 y cuyo primer término es 1)

El rey se mofó pensando la minucia que le estaba pidiendo y solicitando a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dió cuenta que era imposible cumplir la orden, pues la suma de los granos de las 64 casillas era nada menos que la cantidad de:

18.446.744.073.709.551 616 granos

(En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11′5 kilómetros de lado.
Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares), durante ocho años)

Hay una segunda parte de la historia, que es la siguiente, debido al bochorno del rey de tener que aceptar que no tenía granos suficientes para pagarle, consulto a otro hombre inteligente e ingenioso de su corte para que le sacara del apuro.

Y este le propuso lo siguiente:

- Para que vea el inventor cuan generoso eres, ofrécele no sólo la suma de los 64 primeros términos sino la suma infinita.

A lo que el rey exclamó:

- ¡Estás loco!. Si no tengo para pagarle como voy a hacer para prolongar la suma hasta el infinito, serían infinitos granos...

Pero el ayudante ingenioso le dijo:

- Llévame ante el inventor y confía en mí, todo va a salir bien!

Una vez allí reunidos, el ingenioso ayudante le propuso al inventor, que el rey estaba tan contento y feliz con el juego del ajedrez y se mostraba tan generoso, que no sólo se ofrecía a darle la suma de las 64 casillas, sino la suma infinita. A lo que, encogiéndose de hombros el inventor aceptó. Y el ayudante del rey empezó a explicar:

Llamemos

S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... (a la suma infinita)

ahora la multiplicamos por 2, de manera que tenemos 2S,

2S= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

A continuación hacemos 2S - 1S,

2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

-1S = - 1 - 2 - 4 - 8 - 16 - ...
______________________
S = -1

De manera que observamos que 2 y -2 se cancelan, así 4 y -4, e igual hasta el infinito... de manera que al final, S = -1. No sólo ya no le tenía que pagar al inventor, sino que encima este le debía un grano. ¡Sorprendente! (Pues es lo que tiene jugar con el infinito, este tipo de casos se les conoce como paradojas del infinito)